РЕЗОНАНС
МАТЕМАТИКА МУЗЫКИ: ОТ КОЛЕБЛЮЩЕЙСЯ СТРУНЫ ДО РАДИОСИГНАЛА

Звук — это продольная волна давления: колеблющийся объект — струна, диффузор динамика, голосовая связка — толкает соседний воздух, сжимая его, а этот сжатый воздух толкает следующий слой, и так далее во все стороны. Ни одна молекула воздуха далеко не улетает от исходной точки — наружу распространяется само возмущение, точно так же как волна на трибунах стадиона — это люди, на мгновение вставшие и севшие, а вовсе не бегущие вокруг стадиона зрители.

Микрофон, барабанная перепонка и осциллограф делают одно и то же: неподвижно фиксируют, как локальное давление воздуха растёт и падает во времени по мере прохождения возмущения. Любой звук, о котором пойдёт речь в этом справочнике — щипок гитарной струны, человеческий голос, радиомаяк космического аппарата, — сводится к одному и тому же измерению: давлению или его электрическому аналогу, напряжению, меняющему форму во времени. Глава 2 даёт этой меняющейся форме точный словарь.

Частота — сколько циклов давления проходит через точку за секунду, измеряется в герцах (Гц); это та физическая величина, которую ухо воспринимает как высоту тона. Амплитуда — насколько велик размах давления, воспринимается как громкость. Длина волны — физическое расстояние, которое занимает один полный цикл в пространстве, λ = v/f: длина волны низкой ноты в воздухе может составлять несколько метров, а высокой — всего несколько сантиметров.

Фаза — это положение волны внутри собственного цикла в данный момент, обычно измеряется в градусах (0–360°) или радианах. Она кажется наименее важной из четырёх величин — вплоть до главы 7, где сложение волн одной частоты, но разной фазы, — это именно то, как инструменты формируют свой характерный звук, и до главы 11, где это третья, помимо амплитуды и частоты, величина, модулируя которую радиосигнал может нести информацию.

Высота тона — это то, что слышит ухо при восприятии частоты; музыка присваивает двенадцать именованных буквами тональных классов (Ля, Ля#, Си, До, До#…), повторяющихся в каждой октаве, поэтому полное «имя» ноты требует и буквы, и номера октавы. Эта система называется научной нотацией высоты тона: До₄ («до первой октавы», C4) — это «средняя до», Ля₄ (A4) — ля над ней, и Ля₄ по международной договорённости зафиксирована ровно на 440 Гц — эталон, от которого в этой статье вычисляется любая другая нота.

440 Гц не всегда было стандартом — «концертный строй» в разных эпохах и странах гулял примерно от 415 Гц до более чем 450 Гц, пока в 1975 году не был формально закреплён на 440 Гц стандартом ISO (источник 1); некоторые оркестры и сегодня настраиваются чуть выше — около 442–443 Гц. Сами буквенные имена тоже не универсальны: в русскоязычной музыкальной традиции для тех же семи тональных классов, что C, D, E, F, G, A, B, обычно используют слоговые названия — До, Ре, Ми, Фа, Соль, Ля, Си.

Октава по определению — это отношение частот 2:1, и ничего экзотичнее. От Ля₄ = 440 Гц одна октава вверх — это 880 Гц, ещё одна — 1760 Гц; вниз 440 Гц становится 220 Гц, затем 110 Гц, затем 55 Гц. Любая система строя в истории музыки, как бы она ни спорила о нотах между октавами (главы 9–10 расскажут об этом споре), всегда считала октаву единственным интервалом, в котором никто не сомневается.

Почему удвоенная частота звучит как «та же нота, только выше», а не как совершенно другая нота? Потому что отношение 2:1 — это самая тесная возможная привязка двух разных частот друг к другу: каждый без исключения пик более высокой волны совпадает с пиком более низкой, цикл за циклом. Глава 9 покажет, что по мере того как совпадение становится менее идеальным — 3:2, 4:3, 5:4, — ухо всё отчётливее слышит две разные ноты, а не одну удвоенную.

Дёрните струну, закреплённую с обоих концов, — и волны начнут отражаться туда-сюда от каждой закреплённой точки. Выживают только те длины волн, что точно укладываются между двумя концами, с неподвижным «узлом» на каждом конце; всё остальное гасит само себя через интерференцию уже за несколько отражений. Простейшая из выживших форм, основной тон, — это один «горб», длина волны которого ровно вдвое больше длины струны: λ₁ = 2L.

Соедините это с уравнением v = f·λ из главы 1 — и основная частота струны выводится напрямую: f₁ = v/2L. Всё, что гитарист или пианист делает для изменения высоты звука, — это управление одной из этих двух переменных: прижатие струны на ладу укорачивает L и повышает высоту тона; подтягивание колка повышает натяжение T и, следовательно, скорость волны v, что тоже повышает высоту. Попробуйте оба способа ниже.

Глава 5 разобрала лишь простейшую форму стоячей волны. Реальная струна — дёрнутая, взятая смычком или ударенная — колеблется одновременно и в основном тоне, и во всех его целых кратных: во второй моде с двумя «горбами» и лишним узлом, в третьей — с тремя, и так далее, — все они присутствуют вместе, с разной силой, складываясь друг с другом. Каждая такая мода называется гармоникой, и их частоты — точные целые кратные основной частоты: fₙ = n · f₁.

Этот ряд незаметно содержит в себе всю таблицу консонансных интервалов из главы 9: 2-я гармоника лежит на октаву выше основного тона (2:1), интервал между 2-й и 3-й гармониками — чистая квинта (3:2), между 3-й и 4-й — чистая кварта (4:3), а между 4-й и 5-й — большая терция (5:4). «Простые отношения», которые глава 9 представит как историческое открытие, физически — это просто промежутки между соседними ступенями одной и той же лестницы.

Высота тона зависит только от основной частоты f₁ — но глава 6 уже показала, что любая настоящая нота несёт на себе целый набор гармоник, и именно относительная громкость каждой гармоники, её «рецепт», придаёт инструменту его тембр. Две ноты могут иметь совершенно одинаковую f₁ и мгновенно различаться на слух, потому что «рецепт» флейты — почти чистый основной тон, а у скрипки громкие гармоники тянутся далеко вверх по ряду.

Это и есть открытие Фурье, обобщённое за пределы струн: абсолютно любую периодическую волну, сколь угодно «рваную» на вид, можно построить, складывая чистые синусоиды нужных частот, амплитуд и фаз (та самая четвёртая величина из главы 2, наконец пущенная в дело). Анализ Фурье — это математика, находящая эти амплитуды по записанному звуку; спектрограмма откладывает их непрерывно во времени — и радиоинженеры в главе 11 читают спектр сигнала тем же самым инструментом.

«Рецепт» из главы 7 даёт несколько чрезвычайно распространённых, именованных результатов, которые стоит узнавать и на глаз, и на слух. Синусоида — или косинусоида, та же самая форма, только начинающаяся на четверть цикла (90°) раньше, — это самый чистый из возможных тонов: одна частота, одна амплитуда, больше ничего в спектре. Обычный спектр амплитуд вообще не показывает фазу, поэтому синус и косинус выглядят одинаково в представлении спектра ниже, несмотря на то что на осциллографе они различаются, — глава 2 уже назвала фазу единственной величиной, которая начинает иметь значение лишь при сложении волн.

Прямоугольная волна мгновенно переключается между двумя уровнями и содержит только нечётные гармоники (f, 3f, 5f…), каждая из которых спадает как 1/n, — дребезжащая, «пустая» основа классических синтезаторных басов (глава 2 уже показывала, что и реальный цифровой сигнал не бывает идеально прямоугольным). Пилообразная волна, или рампа, плавно нарастает и мгновенно падает, содержит все гармоники, и нечётные, и чётные, тоже спадающие как 1/n, — самый яркий и «дребезжащий» классический звук аналогового синтезатора-лида, и в буквальном смысле форма развёртки самого осциллографа. Треугольная волна тоже содержит только нечётные гармоники, как и прямоугольная, но они спадают гораздо быстрее — как 1/n², — и звучит заметно мягче, ближе к чистому тону.

Шум — противоположная крайность: вместо нескольких чистых гармоник у него есть энергия одновременно на всех частотах, вообще без периодичности — нет даже единой f₁, которую можно было бы измерить. Белый шум несёт равную энергию на каждой частоте (плоский спектр — буквально все высоты тона одновременно, одинаково громко) и звучит как шипение или ненастроенное радио между станциями. Розовый шум наклоняет этот спектр вниз, теряя мощность как 1/f, так что каждая октава несёт равную энергию вместо каждой частоты — ближе к тому, как ухо на самом деле взвешивает громкость по всему диапазону, — и звучит более ровно, как устойчивый дождь.

Коричневый (или «красный») шум наклоняется ещё сильнее, теряя мощность как 1/f² и быстрее всего лишаясь высоких частот, — глубокий гул, как далёкий водопад. Каждая форма на этой странице дословно повторяется в электронике: пилообразная волна — строительный блок радиолокационного чирп-сигнала, прямоугольная волна — тот самый идеализированный цифровой сигнал, который собственная вторая глава CASCADE усложняет реальным временем нарастания, а шум — тот самый фундаментальный предел, выше которого приходится работать любому радиоприёмнику из главы 11. Выберите форму ниже.

Интервал — это просто отношение двух частот. Глава 6 уже вывела, откуда берутся самые простые из них: октава (2:1), чистая квинта (3:2), чистая кварта (4:3) и большая терция (5:4) — это буквально промежутки между соседними гармониками. Традиция приписывает пифагорейской школе в Древней Греции первую формализацию этого факта — при помощи монохорда, единственной струны с подвижной подставкой, демонстрирующей, что простые отношения длин струны дают именно те интервалы, которые музыканты уже узнавали на слух.

(Популярная история о том, что Пифагор открыл это, слушая удары кузнечных молотов, — гораздо более поздняя легенда, физически несостоятельная: молоты разной массы не звучат в чистых гармонических отношениях; хорошо подтверждена именно традиция монохорда.) Размер интервала принято измерять в центах — логарифмической единице, ровно 1200 на октаву и 100 на равномерно темперированный полутон, определяемой как cents = 1200 · log₂(f₂/f₁); эта единица понадобится главе 10, чтобы измерить, насколько равномерная темперация отклоняется от этих чистых отношений.

Попробуйте построить полную клавиатуру из чистых отношений главы 9 — и всё ломается: сложите двенадцать чистых квинт (3:2) подряд, и вы должны вернуться к исходной ноте, но семью октавами выше, — однако (3/2)¹² ÷ 2⁷ ≈ 1,0136, расхождение примерно в 23,5 цента, известное как пифагорова комма. Инструмент, настроенный так, звучит чисто в одних тональностях и заметно фальшиво — «волчьим интервалом» — в других.

Решение двенадцатиступенной равномерной темперации — вовсе перестать гнаться за чистыми отношениями: разделить октаву на 12 математически одинаковых шагов, чтобы каждая тональность была одинаково немного несовершенной, а не так, что одни идеальны, а другие непригодны. Темперированная квинта (700¢) оказывается лишь примерно на 2¢ ниже чистой (702¢) — почти неразличимо на слух, — но темперированная большая терция (400¢) примерно на 13,7¢ выше чистой (386,3¢), и именно поэтому квинты на современном рояле по-прежнему звучат чисто, а терции слегка «дребезжат» для тренированного слуха.

Каждая идея начиная с главы 1 — v = f·λ, амплитуда, фаза, суперпозиция — без изменений применима к электромагнитным волнам; меняется лишь то, что колеблется (электрическое и магнитное поле, а не давление воздуха), и сами частоты. Радио «несущая волна» — это чистая синусоида, в точности как след на осциллографе из главы 2, только колеблющаяся в миллионы раз быстрее того, что способно услышать ухо, — со скоростью света, а не звука.

Модуляция заимствует собственный словарь музыки: амплитудная модуляция (AM) изменяет амплитуду несущей в такт звуковому сигналу — точно как ползунок амплитуды из главы 2; частотная модуляция (FM) изменяет частоту несущей в такт сигналу — механически то же самое, что вибрато певца, только происходящее миллионы раз в секунду вместо пяти-шести. Диапазон частот, занимаемый сигналом, — это его полоса пропускания: радиоинженерное название того же самого вопроса «сколько тут гармоник», который глава 7 задавала о музыкальной ноте.

Сеть дальней космической связи NASA (DSN) ретранслирует телеметрию любого космического аппарата в виде модулированной радионесущей (глава 11) через сотни миллионов километров, в основном на частотах X-диапазона около 8,4 ГГц, отмеченных на шкале выше (источник 5). Некоторые миссии также намеренно возвращали эту идею обратно в слышимый диапазон: при посадке Mars Pathfinder в 1997 году использовался набор коротких, различимых звуковых тонов, специально составленных так, чтобы специалисты управления полётом могли на слух отслеживать ход посадки по мере их звучания.

Вселенная также вещает и сама по себе. Магнитное поле Юпитера, «прочёсывая» его вулканическую луну Ио, разгоняет электроны, порождающие мощные природные «декаметровые» радиовсплески — ранние радиоастрономы подключали такие приёмники прямо к громкоговорителю и в буквальном смысле слушали их (источник 7). Миллисекундные пульсары — нейтронные звёзды, вращающиеся сотни раз в секунду и «прочёсывающие» Землю радиолучом при каждом обороте, — по данным NASA, самые точные природные часы во Вселенной, по стабильности хода не уступающие инженерным атомным часам (источник 4).

Иоганн Кеплер развил пифагорейскую традицию из главы 9 дальше кого бы то ни было: в его «Harmonices Mundi» («Гармония мира», 1619) он искал — и полагал, что нашёл, — отношения, подобные музыкальным интервалам, в относительных орбитальных скоростях планет. Это была математически серьёзная, но явно мистическая концепция, — и стоит подчеркнуть, что речь никогда не шла буквально о слышимом звуке: космос — вакуум, и волнам давления из главы 1 попросту не в чем распространяться между планетами.

Что реально и подробно задокументировано — это орбитальный резонанс: луны Юпитера Ио, Европа и Ганимед фиксируются почти точно в отношении периодов обращения 1:2:4 — на каждый оборот Ганимеда Европа совершает два, а Ио — четыре, и это постоянно поддерживается гравитацией, а не колеблющейся струной. Это в точности та же логика целочисленных отношений, что и гармонический ряд из главы 6 и интервалы из главы 9, только работающая на орбитальной механике, а не на акустике; система TRAPPIST-1, открытая десятилетиями позже, демонстрирует сопоставимую цепочку близких к резонансу планет. Родство здесь подлинно математическое — периодические системы, запирающиеся в простых целочисленных отношениях, — а не утверждение, что та или другая система издаёт звук.

Прочтите этот справочник вперёд: колебание (гл.1) становится волной давления с определённой частотой (гл.2); частота получает имя — ноту (гл.3), — повторяющееся при каждом удвоении (гл.4); фиксированная длина струны вынуждает эту частоту существовать (гл.5) в виде целого набора гармоник (гл.6), чьи относительные силы — это фурье-«рецепт» под названием тембр (гл.7) — рецепт, который порождает и горстку узнаваемых именованных форм, и, если прочитать его в обратную сторону, шум, у которого вовсе нет одной частоты (гл.8). Отношения между гармониками — те самые простые дроби, что определяют консонанс (гл.9), которые равномерная темперация меняет на один удобный для модуляции компромисс (гл.10).

Прочтите его шире: то же самое волновое уравнение, работающее на частотах в миллионы раз выше, — это радионесущая (гл.11), связывающая Землю с аппаратами по всей Солнечной системе (гл.12), — и, если отбросить мистику Кеплера, снова проявляется как буквальные целочисленные привязки между орбитами лун (гл.13). На этой карте нет точки, где «музыка заканчивается и начинается физика». Ударенная струна рояля и модулированный микроволновый канал связи — одно и то же уравнение, вычисленное на совершенно разных частотах для совершенно разных «слушателей».